Laberintos Coordenados: matemáticas, arte y juego.

Archivo: Divulgación
Dr. Wolf Luis Mochán Backal / Esta dirección de correo electrónico está protegida contra spambots. Usted necesita tener Javascript activado para poder verla.
Instituto de Ciencias Físicas de la Universidad Nacional Autónoma de México, campus Morelos.

Compare las siguientes respuestas a la pregunta ¿dónde se ubica el Museo de Ciencias de Morelos?
       1.Situado en el Parque Ecológico San Miguel Acapantzingo, cerca del Centro Histórico de Cuernavaca, capital del Estado de Morelos, al sur del Distrito Federal, capital de México, país ubicado en Norteamérica, continente que se halla en...
          2.Alrededor del punto con coordenadas geográficas (18.91941,-99.226941).

¿Cuál de las descripciones es más breve y precisa? Imagino que el lector estará de acuerdo en que dos números son una representación mucho más concisa de un lugar que una larga descripción. Pero ¿qué significan esos números? ¿cómo han de interpretarse? ¿cuántas formas existen para asociar números a posiciones en el espacio? Éstas son algunas de las preguntas que se pretende contestar en la exposición Laberintos Coordenados, la cual conjuga matemáticas, arte y juego A continuación describimos algunos de los conceptos presentados en la exposición.
Podemos identificar los puntos de un plano con parejas de números de la forma (x,y) empleando un sistema de coordenadas rectangular. Éste está definido por un punto especial llamado el origen, dos direcciones perpendiculares entre sí, como podrían ser hacia la derecha y hacia adelante, y un tamaño de paso. Así, el punto con coordenadas (2,3) es aquel al que llegamos dando dos pasos hacia la derecha y tres hacia adelante a partir del origen. De la misma manera, al punto con coordenadas (-4,-2) llegaríamos caminando cuatro pasos a la izquierda y dos para atrás, o equivalentemente, -4 pasos hacia la derecha y -2 pasos hacia adelante.
             Así como un sistema coordenado permite identificar puntos en el plano con pares coordenados, Descartes mostró en el siglo XVII que el mismo sistema coordenado permite identificar ecuaciones con figuras geométricas, unificando así el estudio matemático del álgebra con el de la geometría. Actualmente, las coordenadas se emplean en todas las áreas de la ciencia y la tecnología. Por ejemplo, todas las fotografías digitales y los dibujos generados por computadora se describen en términos de coordenadas.
Una vez entendido el concepto de coordenada es natural hacernos la pregunta ¿cuántas coordenadas necesitamos? La exposición muestra varios espacios cuya descripción requiere de distintas cantidades de coordenadas, es decir, espacios de diferentes dimensionalidades. Además de las líneas rectas o curvas de una dimensión, superficies planas o curvas de dos y volúmenes de tres dimensiones, hay otros sistemas con más dimensiones, como el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, la postura del cuerpo humano con decenas de dimensiones, el espacio de posibles acordes musicales, de alrededor de un centenar de dimensiones y el espacio de configuración de un gas con millones de millones de millones de millones de dimensiones. Y aún hay más. Si bien el conjunto de todas las sensaciones que pueden producir los colores en nuestros ojos puede describirse como un espacio de tres dimensiones, el espacio de todos los colores posibles es de infinitas dimensiones, así como el espacio de todos los posibles timbres musicales.
          Además de existir muchos espacios, cada uno de ellos puede describirse en términos de muchos sistemas coordenados distintos. Así, adicionalmente a las coordenadas cartesianas, existen sistemas de coordenadas logarítmicas, oblicuas, polares, elípticas y bi-angulares, entre otras, cada una con aplicaciones específicas. Las coordenadas bi-angulares consisten de dos ángulos correspondientes a las direcciones a las que tenemos que voltear para ver un objeto desde dos puntos de vista distintos. Cuando los dos puntos de vista corresponden a nuestros dos ojos, las coordenadas bi-angulares nos dicen en qué dirección debemos voltear la vista para observar al objeto y nos dicen cuánto tenemos que hacer converger los ojos para que ambos apunten hacia el mismo objeto. Esta última información da origen a la estereoscopía, es decir, la percepción de la distancia a la que se encuentra el objeto de nosotros. Por ejemplo, tenemos que hacer bizcos para que nuestros ojos converjan sobre un objeto muy cercano, pero no para ver un objeto lejano.
            Otra parte de la exposición consiste en imágenes dinámicas que se animan de movimiento conforme el espectador camina enfrente de ella. Son ondas que avanzan en distintas direcciones y discos que giran en distintos sentidos con distintas velocidades. Podemos entender cómo se logra este movimiento si tomamos dos peines idénticos y los colocamos uno detrás del otro. Haga Ud. el ejercicio y observará que además de los dientes de uno y otro peine, aparecerán una serie de líneas que no pertenece ni a uno ni a otro sino y que se forman por la superposición de ambos. El patrón de líneas que emerge al superponer los peines, así como el que emerge al superponer dos telas de mosquitero y o cualesquiera dos sistemas con una textura que se repite casi periódicamente, se conoce como patrón de moiré. Un pequeño movimiento o giro de uno de los peines con respecto al otro produce un movimiento grande del patrón de Moiré, como el lector podría verificar fácilmente.
El Instituto de Ciencias Físicas de la UNAM, campus Morelos, desarrolló una técnica matemática para aprovechar el fenómeno de Moiré y sintetizar imágenes que se mueven de manera prescrita conforme camina el observador. Acuñamos el nombre de codificación y detección homodina (en fase) de imágenes en movimiento por su similitud a otra técnica de nombre similar empleada en el pasado para codificar señales de audio en ondas de radio y posteriormente detectarlas para producir sonido.
           Figuras que cambian al observarse desde distintos puntos de vista, es decir, desde distintas orientaciones, permiten codificar puntos en el espacio en términos de parejas de imágenes. Éstas forman una contra-parte gráfica de las coordenadas bi-angulares correspondientes. Mediante secuencias de pares de imágenes se pueden formar caminos ocultos, laberintos para descubrir e identificar para escapar de ellos. Estos laberintos se han elaborado, con un carácter lúdico en la exposición, preparada por Roberto Jiménez Álvarez, Ana Libia Marín Silva y Pablo Padilla Longoria, además del autor de este artículo, y la cual contó con un fuerte apoyo del Museo de Ciencias de Morelos y de su personal.
Las imágenes en movimiento se han presentado en el Museo de la Luz, Universum, Museo de los Metales, Museo de Ciencias de Morelos, en institutos universitarios, en plazas públicas y en el metro de la ciudad de México.


Luis Mochan Backal es investigador del Instituto de Ciencias Físicas de la UNAM, investigador nacional, miembro de la Academia de Ciencias de Morelos, de la Academia Mexicana de Ciencias, profesor de la Facultad de Ciencias de la Universidad Autónoma del Estado de Morelos y del Posgrado en Ciencias Físicas de la UNAM. Trabaja en física del estado sólido, física de superficies, propiedades ópticas de la materia y en particular, en espectroscopías ópticas lineales y no lineales como RAS, SHG, SFG y DFG con sensibilidad a las primeras camadas atómicas en la vecindad de superficies sólidas, además de haber hecho algunos trabajos colaterales sobre propagación superluminal, dispersión de haces atómicos por superficies, óptica topográfica, etc. Cuenta con 150 trabajos publicados, 96 de ellos en revistas científicas indizadas, los cuales han recibido más de mil citas en la literatura. Ha recibido distinciones como la Medalla GAA de la Academia Mexicana de Ciencias, el Premio de la Academia Mexicana de Ciencias, la Distinción UNAM para jóvenes académicos, la Medalla Moshinsky y la Presea Tlacaélel.