Al son de las matemáticas: Música y números


Lic. Jesús Lara Popoca

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Instituto de Matemáticas UNAM Unidad Morelos

La ciencia es una forma racional y metódica de explorar y conocer la realidad, mientras que el arte por lo regular se entiende como una forma de experimentar y comunicar emociones. Pero ¿qué sucede cuando los papeles se invierten y la ciencia se vuelve una forma de experimentar emociones y placer estético, mientras que el arte se convierte en una manera de explorar y conocer la realidad?.
La matemática como ciencia o como lenguaje de la ciencia, permite explorar el mundo real, cierto, pero también es un manantial de experiencias estéticas y emotivas.Imagen activa Esta aparente dualidad representa una de las relaciones más importantes entre la música y la matemática. Imagino que alguna vez habrás escuchado, querido lector, que la música y la matemática tienen mucho en común. Lo que seguramente nunca has escuchado es una explicación detallada de cual es esta relación. La razón principal es que a primera vista parece haber muchas formas de relacionar ambas disciplinas, pero bajo una inspección más detallada y rigurosa, se vuelve evidente que si existe tal relación, no es tan natural ni tan superficial. De hecho, hasta ahora se tienen relaciones parciales de pequeñas áreas de la música con pequeñas áreas de la matemática.
El interés por esta relación no es algo nuevo. Puede ser rastreado por lo menos a la época de la escuela pitagórica en donde se estudiaban ambas disciplinas como prerequisito para ser iniciado en los estudios más profundos (esotéricos).

A lo largo de la historia podemos encontrar varios intentos de combinar o relacionar música y matemáticas. Algunos de ellos han tenido repercusión en la forma en que experimentamos el fenómeno musical. Un claro ejemplo de ello es el desarrollo en el siglo XVII del sistema temperado de afinación por Andreas Werckmeister. Aunque aparentemente el desarrollo de este sistema, mismo que se usa hasta nuestros días, no fue un intento como tal de establecer una relación entre música y matemática, sí sentó un precedente de lo que serían trabajos posteriores en esta intersección del conocimiento humano. La razón es que se plantea un nuevo sistema de afinación en términos matemáticos (numéricos).
Hasta el siglo XX, la mayor parte de los trabajos en esta área eran estudios de acústica aplicada a la construcción de instrumentos, desarrollo o justificación de sistemas de afinación, inclusive algunos intentos de justificación de la teoría musical en términos acústicos.
El primer gran encuentro entre música y matemática, se da a principios del siglo XX, cuando la música sufre esa gran metamorfosis de lo tonal a lo atonal. La nueva teoría musical incorpora, o mejor aún, se fundamenta totalmente en conceptos de teoría de conjuntos. A partir de ese momento se inicia una estrecha colaboración entre el mundo de la teoría y la composición musical y las teorías matemáticas. Durante este periodo nace la teoría del microtonalismo, el dodecafonismo, la música estocástica, la composición por algoritmos y la música electroacústica entre otras.
Imagen activaA principios del siglo XX, Joseph Schillinger desarrolla su sistema de composición y publica su libro “Mathematical Basis of the Arts” (Las Bases Matemáticas del Arte) en el cual, mediante conceptos aritméticos y geométricos desarrolla conceptos generales de las artes visuales y de la música. El sistema de composición Schillinger es una aventura en los terrenos de la abstracción y la generalización de los conceptos musicales y de los procesos que intervienen en la composición musical (la abstracción y la generalización son el corazón de la matemática moderna). Empleando notación simbólica (matemática) desarrolla en general los conceptos de escala, melodía, ritmo, armonía, contrapunto, orquestación y, en pocas palabras, los componentes básicos de la composición y el análisis musical. La teoría del sonido 13 desarrollada por Julián Carrillo representa otra aventura sonora justificada mediante conceptos aritméticos en la que se divide el tono en una cierta cantidad, mayor que dos, de partes iguales, con lo que se expande la cantidad de sonidos a disposición del compositor y el teórico.

A la par de estos desarrollos en teoría musical, se inicia una corriente de estudio de las estructuras musicales mediante teorías matemáticas. Estos trabajos, desarrollados por matemáticos, físicos, ingenieros y científicos de la computación, toman algún fenómeno musical en particular y lo estudian aplicando herramientas (teorías) propias de su área de conocimiento. Un ejemplo puede ser el estudio de los intervalos musicales en una escala mayor mediante teoría de grupos (álgebra).

La composición mediante algoritmos computacionales y, en general, la invasión de la computadora en la vida moderna, ha presentado un nuevo problema en la investigación músico-matemática, a saber, la formalización del lenguaje y la teoría musical. En cierta forma, todo trabajo de investigación o de matematización de fenómenos musicales implica un cierto nivel de formalización. Podemos entender por formalización de un cierto fenómeno, teoría o proceso, el estructurarlo, traducirlo y presentarlo de tal forma que sea comprensible para una computadora. Un claro ejemplo de este proceso es el ajedrez. Cuando aprendemos a jugar, regularmente nos enseñan las reglas básicas, y con la práctica, vamos aprendiendo el resto de las reglas, pero sobre todo, las estrategias. Para que una computadora pueda jugar al ajedrez y ganar, es necesario “explicarle” la diferencia entre una reina y un peón. No sólo la diferencia en los posibles movimientos, sino también el valor o la importancia de una pieza con respecto a la otra. Cuando la computadora tiene esta información, puede tomar una decisión que implique sacrificar una pieza para defender otra, o para poner en aprietos a su oponente. Este mismo proceso de formalización para la música ha probado ser una buena fuente de temas de investigación, pero sobre todo de frustración para aquellos que deciden abordar el problema. Al parecer la solución final de este problema está íntimamente ligado a la definición satisfactoria de lo que es el fenómeno musical, empresa que, como cualquier plática de sobremesa con apasionados del tema muestra, se antoja imposible.

El estudio formal del lenguaje y la teoría musical no implica, o no va encaminado a justificar el fenómeno musical desde un punto de vista científico. Más bien nos permitiría una comprensión más amplia del fenómeno musical. De la misma forma que la comprensión teórica de lo que sucede en una aurora boreal no minimiza el placer de observarla, la comprensión y el estudio formal de la música no tiene porque interferir en el proceso artístico de dicho fenómeno.

Por último, sería interesante ver en un futuro que el estudio matemático de la música permitiera desarrollar nuevas estructuras matemáticas, es decir, que sea ahora la música la que contribuya al desarrollo de nuevas teorías matemáticas, o que permitiera comprender fenómenos matemáticos con argumentos musicales. Aunque parece poco probable, si algo hemos aprendido históricamente es que en esteImagen activa proceso de exploración nunca se puede decir la última palabra...


Jesús Lara es licenciado en Matemáticas por la Universidad Veracruzana.
Actualmente estudia la Maestría en Ciencias Matemáticas de la UNAM en el Instituto de Matemáticas Unidad Cuernavaca. Sus estudios de música los realizó en la Universidad LaSalle Cuernavaca, en el Instituto Tecnológico de la Música (ITM) en Cuernavaca, Morelos con el maestro Antonio Bravo, además de contar con clases y cursos particulares. Su línea de investigación en matemáticas es Lógica y Teoría de Modelos. En música-mátemática es la formalización y eventual interpretación del lenguaje y la teoría musical.