Revista de Divulgación Científico-Tecnológica del Gobierno del Estado de Morelos

Poliedros y la dimensión del espacio

Dr. Jacob Mostovoy / Esta dirección de correo electrónico está protegida contra spambots. Usted necesita tener Javascript activado para poder verla.
Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (CINVESTAV)
Archivo: Matemáticas

Los matemáticos tenemos una costumbre que deja perpleja a la mayoría de la gente: hablamos de espacios de 4, 5 ó 26 dimensiones sin hacer diferencia, como si se tratara del espacio tridimensional en el cual vivimos. En realidad, no poseemos ningunas habilidades sobrenaturales que nos permitan contemplar paisajes multidimensionales, sino que nos ayuda la siguiente analogía.
En el espacio tridimensional cada punto se puede especificar mediante tres números, llamados “coordenadas”. Por ejemplo, si para llegar a este punto tenemos que avanzar 2 metros hacia adelante, 3 metros a la derecha y 1 metro hacia arriba, sus tres coordenadas serán 2, 3 y 1. Y viceversa, dados unos tres números siempre podemos encontrar un punto cuyas coordenadas coinciden con estos números. Si una coordenada es negativa esto simplemente significa que uno debe avanzar hacia la izquierda en lugar de la derecha, abajo en lugar de arriba, o atrás en lugar de adelante.
De la misma manera, en la pantalla de una computadora cada pixel se representa por dos números: su distancia, en pixeles, del borde inferior y su distancia del borde izquierdo. En otras palabras, la pantalla se puede considerar como un espacio de dimensión dos. Cuando un matemático habla de un espacio de cinco dimensiones, simplemente imagina colecciones de cinco números, el espacio de cien dimensiones consisten de colecciones de 100 números, etcétera.
         Curiosamente, en estos “espacios” uno puede definir distancias, ángulos, esferas y otras figuras geométricas. Varios teoremas, tales como, por ejemplo, el teorema de Pitágoras, son válidos en espacios de cualquier dimensión. Tan parecida es la geometría en altas dimensiones a la geometría usual, que uno se hace la pregunta: “¿Tiene el espacio tridimensional algunas propiedades intrínsecas que lo distingan de un espacio de dimensión, digamos, 4 ó 5?”
La respuesta a esta pregunta es positiva, y entre varias propiedades características del espacio de dimensión tres una de las más interesantes es su lista de poliedros regulares.
Recordemos que un polígono en el plano se llama regular si todos sus lados tienen la misma longitud y si todos sus ángulos son iguales. Existe una cantidad infinita de polígonos regulares. Por ejemplo, aquí se muestran los primeros 5:

Un poliedro en el espacio tridimensional se construye de polígonos de la misma manera como un polígono se construye de los intervalos (que son sus lados). Estos polígonos se llaman caras. Las caras se unen en unos intervalos llamados aristas, y las aristas se juntan en los vértices. Un poliedro se llama regular si todas sus caras son polígonos regulares idénticos y si en cada vértice se unen el mismo número de aristas. Dada la infinidad de polígonos regulares, puede sorprender que ¡sólo hay 5 poliedros regulares! El más sencillo de ellos es el tetraedro, o la pirámide triangular que se construye de 4 triángulos equiláteros. El octaedro, hecho de 8 triángulos equiláteros y el cubo, obtenido de 6 cuadrados, no son mucho más complicados:

Los más interesantes son el icosaedro y el dodecaedro:

Estos dos poliedros están relacionados: los centros de las caras de un dodecaedro son vértices de un icosaedro, y al revés: los centros de las caras de un icosaedro son vértices de un dodecaedro. El icosaedro tiene 20 caras triangulares, 30 aristas y 12 vértices; el dodecaedro tiene 12 caras pentagonales, 30 aristas y 20 vértices.
Maravillados por la belleza y la compleja simetría del dodecaedro, los griegos antiguos le adscribían un papel fundamental en el Universo como el modelo del Zodiaco. Su mera existencia era un conocimiento esotérico: se cuenta que un alumno de Pitágoras que cometió el error de divulgar al mundo la construcción del dodecaedro fue obligado a suicidarse.
Entre los intentos de explicar el mundo usando los poliedros regulares tal vez el más notable fue la teoría del Sistema Solar de Kepler. Según el, las órbitas de los planetas se determinaban por la sucesión de estos poliedros inscritos uno dentro del otro. Kepler consideraba su teoría (destruida por completo con el descubrimiento de Urano) como su obra más importante.


            En el siglo XIX, el grupo de simetrías del dodecaedro jugó un papel fundamental en la demostración de la imposibilidad de resolver todas las ecuaciones de grado 5 con radicales. En el 1985 se descubrió una molécula de carbón, el fullereno C60, en forma de un dodecaedro con esquinas recortadas (esta forma geométrica es conocida a toda la humanidad como el balón de fútbol). Cada nuevo descubrimiento de un dodecaedro o de un icosaedro en la naturaleza produce una conmoción, tanto entre los científicos como entre el público en general.
Los poliedros regulares también se pueden definir en espacios de dimensiones más altas. Es fácil construir los análogos del tetraedro, del cubo y del octaedro en cualquier dimensión, pero - ¡sorpresa! - en las dimensiones mayores de 4 estos son los únicos poliedros regulares.
La dimensión 4 , sin embargo, es extremadamente interesante. El icosaedro y el dodecaedro tienen allí sus versiones, aún más espectaculares: el “hipericosaedro” se construye de 600 tetraedros, y el “hipericosaedro” de 120 dodecaedros. Pero lo más interesante es la existencia de un sexto poliedro regular, que se construye de 24 octaedros y no tiene análogo en otras dimensiones.
Hay otras razones, muy profundas, por las cuales las dimensiones 3 y 4 son las más interesantes para la geometría. Se podría decir que tenemos una gran suerte de vivir en un espacio tridimensional (o de dimensión 4 si contamos el tiempo). Se podría, si los físicos en los últimos años no afirmaran que la verdadera dimensión del Universo es 10 u 11. Pero esto ya es otra historia.


Jacob Mostovoy nació en Moscú, Rusia, en 1970. Obtuvo su diploma de Ingeniero Físico, a nivel de Maestro en Ciencias, en el Instituto de Física y Tecnología de Moscú (MFTI) en 1993. En el año 1997 recibió el grado de Doctor en Filosofía, con especialización en Matemáticas, de la Universidad de Edimburgo. Entre 1998 y 2008 trabajó en la Unidad Cuernavaca del Instituto de Matemáticas de la UNAM. Desde 2008 es Investigador Titular en el Departamento de Matemáticas del CINVESTAV en la Ciudad de México. Es miembro de la Academia Mexicana de Ciencias desde 2010 e Investigador Nacional Nivel II del SNI.