Revista de Divulgación Científico-Tecnológica del Gobierno del Estado de Morelos

Autómatas de Kauffman, como modelos matemáticos de auto-organización en la naturaleza.

Dr. Federico Zertuche Mones / Esta dirección de correo electrónico está protegida contra spambots. Usted necesita tener Javascript activado para poder verla.
Instituto de Matemáticas, Unidad Cuernavaca de la Universidad Nacional Autónoma de México.
Archivo: Matemáticas

Una de las grandes preguntas de la ciencia y de la filosofía (aún sin plena respuesta) es ¿se puede originar la vida sin apelar a un Dios? Claramente, desde el punto de vista filosófico, si la respuesta es NO, entonces nos enfrentamos a un problema tautológico (repetición de un mismo pensamiento expresado de distintas maneras) en donde se aparece una nueva pregunta ¿Cómo surgió ese Dios? Desde el punto de vista metafísico, se pueden dar a esta pregunta varias respuestas válidas. Las que me resultan más relevantes son: 1.- Existe desde siempre: problema del tiempo y su realidad concreta, que últimamente está siendo cuestionada por los propios científicos1. 2.- Existe un mundo más allá de lo sensible, el mundo de las Ideas planteado por Platón (Πλάτων) (424-348 AC)2. Tema que también ha tenido y tiene influencia en la ciencia; Kurt Gödel (1906-1978) fue un sostenedor y actualmente Roger Penrose (1931- ) es otro.3,4 3.- El problema de un Dios es de carácter metafísico por ello no le concierne a la ciencia como tal. Además carecen de interés los problemas metafísicos i.e. se niega a la metefísica: postura de Bertrand Russell (1872-1970) y secundada por Stephen Hawking (1942- ).4,5
          Sin entrar en conflicto con ninguna de estas posturas según mi propia apreciación, desde el punto de vista estrictamente científico, continúa siendo un problema el entender ¿cómo un sistema desordenado (la Tierra en su estado primigenio) puede llegar a uno ordenado (la Vida)? En 1969 Stuart A. Kauffman (1939- ) propuso los modelos que ahora llevan su nombre como un intento de entender cómo la naturaleza se auto-organiza, i.e. pasa del desorden al orden de forma espontánea6. Estos modelos, si bien muy simplificados en relación a los procesos genómicos (sincronicidad de la dinámica, suposición de que los genes sólo están en dos estados; activo ó inactivo), han dado luz para entender varios de los comportamientos metabólicos de los seres vivientes.
          Los autómatas de Kauffman son: Sistemas dinámicos binarios (o booleanos), lo que quiere decir que cada una de las N variables del sistema (también llamadas autómatas) toma sólo valores 1 ó 0. Matemáticamente hablando, evolucionan en un tiempo discreto, lo que significa que los valores de las variables van evolucionando según un lapso finito de tiempo (identificado como un paso del “reloj metabólico” que regula al organismo) según un sistema de ecuaciones en diferencias, y de una forma síncrona (lo que significa que todas las variables evolucionan a la vez). Asimismo, las ecuaciones en diferencias que regulan la evolución de los autómatas dependen de los valores de sólo K de los autómatas al tiempo anterior; donde 0 < K < N+1; y de N funciones booleanas; una para cada autómata.
Hasta aquí los autómatas de Kauffman no poseen ningún atributo particular que los haga atractivos para el estudio del origen de la vida. Son sistemas dinámicos deterministas (o sea, no probabilistas o estocásticos según la jerga científica) booleanos que evolucionan a través de ecuaciones en diferencias de K de los N autómatas al tiempo anterior. El ingrediente que los convierte en modelos estudiados en sus múltiples variantes desde su invención es la forma en que se construyen las K conexiones de cada una de las variables y las funciones booleanas que dictan la evolución determinista. Éstas son elegidas al azar: las K conexiones se eligen con equiprobabilidad y sin repetición entre las N posibles variables; y las funciones booleanas se eligen con probabilidad “p” de que la salida sea 1, para cada una de las entradas de los K argumentos.
          Así las cosas, los autómatas de Kauffman son sistemas que se construyen al azar (modelando como la naturaleza partió del caos) y que tienen una dinámica determinista (modelando un sistema con un metabolismo determinado). Los autómatas de Kauffman poseen tres parámetros, N, K y p, en función de los cuales se han efectuado muchos estudios sobre todo en lo concerniente al tamaño de sus ciclos (identificados como procesos metabólicos) y al número de ellos. Muy generalmente existen dos tipos de comportamiento que marcan la diferencia en cuanto al tamaño de los ciclos: 1.- Crecen como potencia de N, o sea Na con a > 0. O bien 2.- Crecen de forma exponencial, o sea eb N con b > 0. Sólo el primer caso puede dar origen a un proceso metabólico dado en el segundo caso el proceso sería excesivamente largo (Los seres vivientes cuentan con del orden de N = 104 genes. Un crecimiento exponencial haría que un solo ciclo metabólico durara la edad del universo o más)6. Sólo casos extremos han sido resueltos de forma analítica (sin simulación computacional) y de forma exacta: El caso K = N, p = ½ fue trabajado desde los años 50 y sólo hasta 2005 el Dr. David Romero de la Unidad Cuernavaca del Instituto de Matemáticas de la UNAM y yo obtuvimos una solución exhaustiva. El caso K = 1, p = ½ fue resuelto por Flyvbjerg et al. en 19888.
          Actualmente me encuentro trabajando en el caso para N, K, p generales que aún guarda muchos secretos y es extremadamente complejo de resolver. Desde mi propuesta, en 2009 de clasificar a las funciones booleanas en términos de lo que llamé su “grado de irreducibilidad”, he podido dar, sin embargo avances significativos.9 A partir de ella; usando el análisis asintótico, la teoría combinatoria y la teoría algebraica de gráficas, he logrado entender y calcular muchas propiedades de las funciones en diferencias que gobiernan la dinámica de los autómatas de Kauffman con resultados promisorios a corto plazo10,11. Esta investigación tiene importancia tanto desde el punto estrictamente matemático; ya que los resultados que se obtienen tienen aplicación directa a la matemática pura, como desde el punto de vista del entendimiento del origen de la vida entendiendo el problema como una auto-organización del desorden al orden6,12.
         Reitero que los modelos de Kauffman son sólo aproximaciones a grosso modo de lo que fue en realidad el origen de la vida ya que hacen grandes simplificaciones. La ciencia, sin embargo siempre procede así: De lo fácil a lo complicado. Galileo Galilei (1564-1642) en 1632 hizo el primer estudio científico de la caída libre de los cuerpos mediante la suposición de que no existiera la fricción del aire, equivalente a que estos se desplazaran en el vacío. Esto eventualmente dio lugar a la hoy conocida Ley de la Inercia o Primera Ley de Newton (1642-1727)13. Esta posición hubiera resultado del todo inaceptable por Aristóteles (Ἀριστοτέλης) (384-322 AC) quien era contrario a la existencia del vacío14 sin embargo permitió a Newton y sus sucesores poder estudiar casos más realistas en donde la fricción del aire estuviera presente.
          Independientemente de los aciertos y desaciertos de la ciencia creo que las preguntas de carácter metafísico siempre estarán vigentes. La propia matemática parece dar una respuesta afirmativa a esto a través de uno sus más grandes y enigmáticos teoremas: El teorema de Gödel (1931) ya que una de las varias maneras de frasear sus implicaciones es “La Matemática es inexhaustible”15.
Agradezco a los siguientes colegas largas conversaciones científicas sin las cuales este artículo estaría incompleto: Fabio Benatti, Diego Rojas Rebolledo, David Romero, Lucas Sánchez y Alberto Verjovsky.

 

Bibliografía:
1 Craig Callender. “Is Time an Illusion?” Scientific American 302 (2010) 40.
2 Platón, Diálogos. En particular “Fedón o del Alma”.
3 Karl Sigmund, John Dawson, Kurt Mühlberger. “Kurt Gödel. Das Album - The Album”. Vieweg und Sohn Verlag (2006).
4 S.W. Hawking and R. Penrose. “The Nature of Space and Time”. Scientific American 275 (1996) 44.
5 B. Russell. “History of Western Philosophy” (1946). Re-editado por Routledge (2009).
6 S.A. Kauffman. “The Origins of Order: Self-Organization and Selection in Evolution”. Oxford University Press (1993).
7 D. Romero and F. Zertuche. “The Asymptotic Number of Attractors in the Random Map Model”. J.Phys.A:Math.Gen. 36 (2003) 3691; “Grasping the Connectivity of Random Functional Graphs”. Stud. Sci. Math. Hung. 42 (2005) 1.
8 H. Flyvbjerg, and N.J. Kjaer. J. Phys. A: Math. Gen. 21 (1988) 1695.
9 F. Zertuche. “On the robustness of NK-Kauffman networks against changes in their connections and Boolean functions”. J.Math.Phys. 50 (2009) 043513.
10 D. Romero and F. Zertuche “Number of Different Binary Functions Generated by NK-Kauffman Networks and the Emergence of Genetic Robustness”. J.Math.Phys. 48 (2007) 083506.
11 F. Zertuche. “Boolean Irreducibility and Phase Transitions in NK-Kuffman Networks”. Enviado a publicar (2011).
12 F. Benatti, A. Verjovsky and F. Zertuche. “Discrete Dynamical Systems Embedded in Cantor Sets”. J. Math. Phys. 47 (2006) 022705.
13 Galileo Galilei. “Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo”. (1632).
14 Aristóteles. “Metafísica”; Stillman Drake: Galileo at Work: His Scientific Biography, Courier Dover Publications, 2003.
15 Hao Wang. "A LOGICAL JOURNEY: From Gödel to Philosophy" MIT Press (1996).


Semblanza


Federico Zertuche Mones, estudió en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM) la carrera de físico y el doctorado en la Scuola Internacionale Superiore di Studi Avanzati di Trieste en Italia.