Óptica Matemática

Dr. Kurt Bernardo Wolf / Esta dirección de correo electrónico está protegida contra spambots. Usted necesita tener Javascript activado para poder verla.
Instituto de Ciencias Físicas de la Universidad Nacional Autónoma de México
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La geometría Euclideana parte de 5 axiomas para desarrollar la plétora de resultados que han dado cuerpo a lo que hoy entendemos sobre el mundo ideal de líneas, superficies y cuerpos en un espacio de cualquier número de dimensiones. Dos axiomas más –sobre la continuidad y curvatura de estas líneas debidas a un “índice de refracción” presente en el espacio– permiten aplicar estos métodos a la óptica geométrica. Herramientas tomadas de la mecánica clásica y cuántica, basadas en simetrías y en su tratamiento matemático [1], extienden este campo a la comprensión de fenómenos y modelos que pertenecen a tópicos muy diversos y aparentemente distantes como lo son el análisis de señales ópticas y acústicas, y en el procesamiento de imágenes pixeladas. Ilustraré someramente estos dos ejemplos de aplicación de la teoría.
          El análisis de una señal, como podría ser el registro en un osciloscopio del habla de una persona, requiere descomponerla en sus ondas formantes, ventaneadas en pequeños intervalos de tiempo, para mostrarla como en una partitura musical, con notas en un pentagrama, cada una con cierta duración y frecuencia. Este plano de tiempo y frecuencia es conocido como espacio fase. A diferencia de un plano bidimensional ordinario, el espacio fase tiene una métrica llamada simpléctica donde rige un principio de incertidumbre matemáticamente idéntico al de la mecánica cuántica. Sobre él puede reconocerse visualmente el timbre que caracteriza la voz de cada persona, y que puede ser sujeta a distorsiones o aberraciones como las de la óptica geométrica. El espacio fase tiene una propiedad muy importante: bajo cualquiera de estas transformaciones, los elementos de superficie conservan su área; si se expanden en una dirección tienen que contraerse en otra, de forma que el “tamaño” de las notas del pentagrama permanezca invariante. Si cada punto de este plano representa un rayo de luz, éstos no pueden aparecer ni desaparecer. En este sentido obedecen a una traducción del principio de Lavoisier: la luz (o la materia, o la información) no se crea ni se destruye, sólo se transforma. La incertidumbre mínima entre tiempo y frecuencia no puede, en consecuencia, reducir ni aumentarse. Las transformaciones con esta característica se denominan canónicas.
          Cuando la señal consta de un número finito de puntos-dato, el espacio fase también se vuelve finito; el plano infinito se “contrae” a una esfera. Sobre la esfera entonces escribimos la partitura de nuestra señal, y diferentes proyecciones de ella nos reconstituyen (los valores absolutos de) la señal original, o sus frecuencias, o combinaciones determinadas de las dos. Y las transformaciones canónicas que podamos aplicar a la señal original corresponden a las transformaciones de la superficie de la esfera que conservan sus elementos de área, cuyo número no puede exceder el cuadrado del número de puntos dato. El hecho de tener una esfera nos dice intuitivamente que su descripción matemática debe estar relacionada con el grupo de rotaciones, puesto que éstas son transformaciones rígidas que dejan invariante a esta superficie. En efecto, el tratamiento de señales finitas se apoya en la teoría cuántica del momento angular, que en la mecánica encarna en el fenómeno llamado spin de las partículas elementales con masa. Pero mientras que en la física el spin –o momento angular– solamente presenta valores de 0, ½ ó 1, en el análisis de señales finitas de N puntos dato, este spin toma los valores j = (N – 1)/2, ó N = 2j + 1, donde j puede ser cualquier valor positivo, entero o semi-entero.
          El procesamiento de imágenes pixeladas puede pensarse como una versión discreta y finita de señales bidimensionales. Por motivos que no me es posible resumir sin recurrir a las matemáticas, estas señales nos remiten al grupo de rotaciones en cuatro dimensiones. Las representaciones de este grupo permiten dos tipos de pixelaciones: cartesianas y polares. Por pixelación cartesiana entendemos una pantalla cuadrada de N pixeles por lado, que en consecuencia contiene N2 datos; las pantallas polares por otra parte, arreglan sus píxeles sobre círculos concéntricos de radios 0, 1, 2, …, 2j (donde nuevamente N = 2j + 1), y sobre éstos círculos se acomodan 1, 3, 5, … 2j + 1 píxeles. Sumando, el número total de píxeles es (2j + 1)2 = N2; es decir, el mismo número que en la pantalla cuadrada. Podemos entonces preguntarnos por una transformación que lleve una imagen sobre una pantalla pixelada según coordenadas cartesianas a la misma imagen sobre una pantalla con pixelación polar. En efecto, esta transformación existe y bajo ella no se perderá información, pues ambas pantallas contienen el mismo número de datos; transformaciones con esta característica se llaman transformaciones unitarias. Las transformaciones unitarias juegan un papel importante pues en ellas no se gana ni se pierde información.
          En compañía con varios estudiantes tesistas, asociados postdoctorales y científicos visitantes, nuestro pequeño grupo de óptica matemática en los Institutos de Ciencias Físicas y de Matemáticas de la UNAM, ha hecho florecer otros desarrollos, como son el ojo-de-pez de Maxwell, donde las trayectorias de la luz son círculos (empleados en emisores y antenas de radar); transformaciones relativistas en modelos ópticos; y una clasificación de aberraciones que las ponen en correspondencia 1:1 con los estados del oscilador armónico cuántico. Las herramientas han sido la teoría de grupos, el análisis funcional, y la inagotable progenie que de su diálogo derivan y concretan en ramas de la óptica, de la física y de la información. No encuentro mejor síntesis que aquélla escrita por el poeta nacional afgano Khushal Khan Khattak (1613—1690), del que alguna vez leí este fragmento:
…mi jardín es de tierra seca, donde sólo flores imaginarias crecen…
[1] K.B. Wolf, Geometric Optics on Phase Space (Springer-Verlag, Heidelberg, 2004).


Semblanza


Kurt Bernardo Wolf es miembro del Instituto de Ciencias Físicas de la UNAM y de la Academia de Ciencias de Morelos