Notas

TEORÍA DE NUDOS: ENTRE LAS MATEMÁTICAS Y LA REALIDAD

Por: Dr. Jacob Mostovoy
Instituto de Matemáticas Unidad Cuernavaca (UNAM)
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¿Qué es lo que distingue un elemento químico del otro? El gran físico inglés William Thomson, conocido también como Lord Kelvin inventó una teoría muy extravagante para contestar esta pregunta. Según dicha teoría, los átomos no son otras cosas que minúsculos vórtices o corrientes cerradas, de éter – la sustancia invisible que llena todo el espacio. El hidrógeno sería un vórtice en forma del simple círculo, el helio - un vórtice anudado como un trébol, el litio también sería un nudo, pero más complicado. Así, la diferencia entre los átomos en la teoría de Thomson era el “diseño” del nudo formado por la corriente de éter.

La teoría de Thomson era elegante y resolvía muchos problemas en física, pero como sabemos hoy, es absolutamente falsa. Los físicos ya no creen en la existencia del éter, y los átomos no son ningunos vórtices sino colecciones de protones, neutrones y electrones. La diferencia entre los elementos químicos se explica de acuerdo al número de protones en el núcleo. Sin embargo, el trabajo de Thomson tuvo una consecuencia importante – se inventó la teoría matemática de nudos.

Para los matemáticos un nudo es simplemente una curva cerrada sin autointersecciones en el espacio tridimensional. Uno puede pensar en un alambre al que hicieron un nudo y soldaron sus extremos. Dos nudos son equivalentes si uno de ellos se puede deformar para que tome la forma del otro sin romper el alambre ni la soldadura. El nudo más sencillo es el nudo trivial que no es otra cosa que un círculo. Le siguen el nudo trébol (que existe en dos versiones: “izquierdo” y “derecho”) y el nudo figura ocho. Hay muchos más nudos, en realidad una infinidad de ellos. El trabajo de los matemáticos que estudian nudos es clasificarlos, es decir, darles nombres y, sobre todo, dar recetas como distinguir un nudo de otros nudos no equivalentes.



nudo trivial

trébol izquierdo


trébol derecho

figura ocho

Esta última tarea no es nada sencilla. Por ejemplo, aunque no es obvio ¡los cuatro nudos de abajo son equivalentes!

Puede parecer extraño, pero los nudos a veces se comportan como números naturales. Por ejemplo ¡uno puede multiplicarlos como números! Para “multiplicar” dos nudos se tiene que cortarlos en algún lugar y juntar los extremos. El producto del nudo trébol y el nudo figura ocho se ve así:

Es cierto (y es un secreto del gremio) que los matemáticos desarrollan sus teorías sólo siguiendo su inspiración y sin pensar demasiado en aplicaciones. La teoría de nudos es inútil para los marineros o los scouts. Pero – y es sorprendente – ¡es de utilidad para los biólogos! Un fenómeno en biología molecular recién descubierto es que la “molécula de la vida”, es decir, la molécula de ADN, puede estar anudada.

Una molécula de ADN es una cadena delgada y larguísima compuesta de miles de aminoácidos. Esta cadena puede estar enrollada y anudada. Los experimentos muestran que la función de la molécula en la célula puede depender del nudo que ella forma. Surgen varias preguntas: ¿Qué nudos pueden aparecer en las moléculas de ADN? ¿Cómo dependen las propiedades de la molécula del nudo que ella forma? Para contestarlas se necesitan algunos resultados abstractos de la teoría de nudos. Como una consecuencia ¡hay libros de texto sobre teoría de nudos con capítulos sobre biología molecular!

Coatl. Códice Borgia.

Textos en español sobre la teoría de nudos:

[1] Carlos Prieto, Nudos y sus aplicaciones. Aportaciones Matemáticas, Comunicaciones, 26, Sociedad Matemática Mexicana, México, 2000.

[2] José Luis Cisneros Molina, Introducción a la teoría de nudos.

http://www.matcuer.unam.mx/~jlcm/nudos.pdf